Das „Varying-Permeability“-Modell

Eine Zusammenfassung der Artikel von D.E. Yount und D.C. Hoffman
von Kai Schröder

Stand: 4.4.2001

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Im allgemeinen wird angenommen, daß ein linearer Zusammenhang zwischen der Größenordnung einer sicheren Druckreduzierung und dem Sättigungsgrad gilt (empirisch ermittelt):


p1 = a ·p2 + b
(1)

mit

p1 - momentaner Umgebungsdruck
p2 - niedrigerer, sicherer Druck, bis zu dem aufgestiegen werden darf
a, b - Konstanten

Durch eine Reduzierung des Umgebungsdrucks kommt es zu einer Übersättigung der Gewebe mit Inertgas. Dies führt wiederum zur Entstehung von Mikrogasblasen, welche mit sinkendem Umgebungsdruck stark wachsen und sich an verschiedenen Stellen im Körper festsetzen können und letztlich die Dekompressions-Krankheit (DCS) verursachen. Die „gebräuchlichen“ Modelle (Haldane, Bühlmann etc.) gehen davon aus, daß die Mikrogasblasen beim Aufstieg vorhanden sind und versuchen, deren Auswirkungen so gering wie nötig zu halten, so daß es nicht zu einer DCS kommt.

Das Varying-permeability model (VPM) ist nun ein „Hohlraumbildungs“-Modell, das davon ausgeht, daß die Blasenbildung eingeleitet wird durch kugelförmige Gas-Keimzellen (die „Mikrogasblasen“). Diese sind klein genug, um in Lösung zu bleiben, andererseits aber stabil genug, um nicht zu kollabieren. Die Stabilität wird durch ein oberflächen-aktives, elastisches Häutchen gewährleistet, welches aus oberflächen-aktiven Substanzen besteht. Diese Häutchen sind im Normalfall für Gase durchlässig, bei sehr hohen Drücken (größer 8 atm) werden sie aber undurchlässig. Die Blasenradien betragen 1mm oder kleiner und ihre Dichte sinkt exponentiell mit steigendem Radius, wie experimentell gezeigt werden konnte.

Es werden keine Annahmen darüber gemacht, ob es sich um Fett- oder wässriges Gewebe handelt, wo die die Blasen entstehen oder wie sie wachsen, sich vermehren oder transportiert werden oder anderes - diese Prozesse sind bis jetzt nur unvollständig verstanden und würden somit nur zu einer Erhöhung der Zahl der Parameter führen.

Unabhängig von irgendeinem Modell wurde beobachtet, daß die Kurven für konstante Blasenzahl N in Gelatine und für eine konstante Empfindlichkeit bzw. eine effektive Dosis in Ratten und Menschen sehr ähnlich sind. Dies läßt vermuten, daß die Studien mit Gelatine und anderen wässrigen Medien für die DCS relevant sind und daß die Blasenzahl eine kritische Größe für das Eintreten von Symptomen der DCS ist.



Surfactant cavitation model (SCM) - oberflächen-aktives „Hohlraumbildungs“-Modell

Das SCM ist eine Beschreibung, wie die Gaskeime auf Druckänderungen reagieren. Oberhalb eines Anfangsradius r0min wachsen alle ursprünglich vorhandenen Gaskeime zu makroskopischen Gasblasen. Außerdem besteht eine direkte Proportionalität zwischen r0min und der Zahl der Gasblasen. Es ist gleichgültig, wie der Druckänderungsfahrplan aussieht, bei gegebenem r0min entsteht immer die gleiche Zahl N an Gasblasen.

Bei der Anwendung des Modells auf die DCS wird davon ausgegangen, daß die Stärke der DCS nur von der Zahl der Gasblasen abhängt. Es wird dagegen keine Unterscheidung zwischen verschiedenen Geweben oder unterschiedlichen Inertgasen gemacht - dies ist hier nicht notwendig.

Gegeben seien folgende Gleichungen:
pss
= ps - pf
(2a)
pcrush
= pm - p0
(2b)

mit

pss - Übersättigungsdruck
ps - Sättigungsdruck
pf - Enddruck
pcrush - Anfangs-Kompressionsdruck
pm - Maximaldruck
p0 - Anfangsdruck, 1 atm

Es gilt nun weiter ps = pm = p1, pf = p2, pss = p1 - p2 sowie pcrush = p1 - p0.

In der Niedrigdruck-Region (kleiner 8 atm) findet folgende Gleichung Anwendung:
pss =
g
gc

·pcrush + 2 g(gc - g)
r0min ·gc
(3)

mit

g - nach innen gerichtete Oberflächenspannung des den Gaskeim umgebenden Mediums
gc - nach außen gerichtete Oberflächenspannung des Häutchens

Für die Hochdruck-Region, in der das Häutchen für Gas undurchlässig wird, gilt eine modifizierte Version von Gleichung (3):
pss
= 2 g(gc - g)
r0min ·gc
+ (p* - p0)g
gc
+ (pm - p*)g
gc ·[1 + (r/B)]
(4a)
mit     r
rmin* ·
rmin*
rmmin

= rmin*2
rmmin
(4b)
B
2 (gc - g)


t* ·

rmin*
rmmin
+ 1 + rmmin
rmin*




(4c)

wobei

t* - verschwindende Gasspannung bei Einsetzen der Gasundurchlässigkeit (dissolved gas tension at the onset of impermeability)
rmin* - minimaler Radius des Gaskeims bei Eintritt der Gasundurchlässigkeit
rmmin - minimaler Radius des Gaskeims beim maximalen Druck pm = ps

Die Größenordnung von rmin* kann bestimmt werden nach:
2 g

1
rmin*
- 1
r0min


= (p* - p0)


gc
g
- 1

(5a)

Die Größenordnung von rmmin kann durch Iteration der folgenden Gleichung ermittelt werden:
2 g

1
rmmin
- 1
rmin*


= (pm - p*)


gc
g
- 1

·

1 + r
B


(5b)

Es wird angenommen, daß p0, pm, pcrush, pss, g und t* bei Einsetzen der Gasundurchlässigkeit gemessen, berechnet oder sonstwie bekannt sind.

Damit enthält (4a) nur drei unabhängige Modellparameter r0min, gc und p*. (4a) reduziert sich weiter zu (3), wenn pm = p* gesetzt wird. Deshalb kann (3) in der durchlässigen Region als Spezialfall von (4a) betrachtet werden.



DCS beim Menschen - die gasdurchlässige Region

(1) kann folgendermaßen aus (3) abgeleitet werden:

(3) kann umgeschrieben werden als
pss
= c ·pcrush + d
(6a)
wo     c
g
gc
(6b)
d
2 g(gc - g)
r0min ·gc
(6c)
für gegebene Blasenzahl bei einem bestimmten Level konstant sind. Es folgt dann
p1 - p2 = c ·(p1 - p0) + d
(7a)
Auflösen nach p1 ergibt:
p1 = p2
1 - c
+ d - c ·p0
1 - c
(7b)
was das gleiche ist, wenn in (1) gesetzt wird
a
1
1 - c
gc
gc - g
(7c)
b
d - c ·p0
1 - c
2 g
r0min
- g·p0
gc - g
(7d)

Um gc und r0min für den Menschen abzuschätzen, wird nun für a und b der Mittelwert der von verschiedenen Autoren angegebenen Zahlenwerte angesetzt:

a b Quelle Anwendung
1,397 0,57 Barnard (1976), exp. Daten
1,518 0,46 Des Grange (1956), 120 min-Gewebe U.S.N. Standard-Tabellen
1,366 0,56 Hempleman (1969), 1,9 < p1 < 7.0 atm abs R.N.P.L. Tabellen
1,375 0,52 Workman (1965), „M-value“, 240 min-Gewebe U.S.N. Mischgas-Tabellen
1,385 0,42 Nishi & Kuehn (1973) Kanadische Tabellen
1,401 0,47 Bühlmann (1969), 240 min-Gewebe, 1,0 < p1 < 7.0 atm abs Schweizer Tabellen

a
= 1,407
(8a)
b
= 0,50 atm abs
(8b)
p1
= 1,407 p2 + 0,50 atm abs
(8c)

Für die Oberflächenspannung g wird folgender Wert angesetzt:
g = 17,9  dyn
cm
= 17,9  g
s2
(9)
(7c), (8a) und (9) ergeben dann
gc = 62  dyn
cm
= 62  g
s2
(10a)
aus (7d), (8b) und (10a) ergibt sich dann
r0min = 0,39 mm
(10b)
(jeweils für Menschen). Beobachtet in Gelatine wurden
55  dyn
cm
gc 98  dyn
cm
(11a)
und
0,07 mm r0min 0,7 mm
(11b)


Undurchlässige Region

Hier wird angesetzt
t* = p0
= 1 atm abs
(15)
p*
= 9,2 atm abs
(16)
(für große Kerne, also für kleines N).


Berechnung von Tauchtabellen

Die Annahme einer konstanten Gaskeimbildung oder einer konstanten Blasenzahl entspricht nicht allen Bedingungen, die von den heutigen Tauchtabellen abgedeckt werden. Sie sind sehr sicher, erfordern aber manchmal sehr lange Aufstiegszeiten. Deshalb werden diese Tabellen hier als „gültige experimentelle Daten“ angesehen und das Dekompressions-Kriterium davon ausgehend neu formuliert.

Im ersten Schritt wird konstante Blasenzahl durch kritische Volumen Hypothese ersetzt. Hierbei wird angenommen, daß Symptome dann auftreten, wenn das totale Volumen V alles in der Gasphase akkumulierten Inertgases einen bestimmten Wert Vcrit überschreitet. Obwohl Vcrit in allen bestehenden Tabellen als konstant angenommen wird, tritt ständig Inertgas neu in die Gasphase ein und verläßt diese auch andauernd. In diesem Sinne ist das neue Kriterium dynamisch und nicht statisch.

Die Idee, daß ständig Inertgas die Gasphase verläßt, wird durch Untersuchungen gestützt. Dies impliziert, daß es eine Blasenzahl Nsafe gibt, die unabhängig vom Grad der Übersättigung pss immer toleriert werden kann.

Eine andere Auswirkung ist, daß die bestehenden Tauchtabellen „erlauben“, daß die tatsächlich vorhandene Zahl an überkritischen Gaskeimen Nactual kurzzeitig größer ist als die tolerierbare Anzahl Nsafe. Dadurch kann das Volumen der Gasphase proportional zu pss(Nactual - Nsafe) ansteigen. In der hier benutzten Formulierung kann das Gasphasen-Volumen ansteigen bis pss gleich Null ist. An diesem Punkt, gewöhnlich lange nachdem der Tauchgang beendet ist, hat das Nettovolumen des freigesetzten Inertgases den maximalen Wert Vmax erreicht. Dieses muß kleiner als Vcrit bleiben, damit Symptome der DCS vermieden werden.

Die Berechnung der Tauchtabelle beginnt nun mit der Spezifizierung von fünf Gaskeimbildungs-Parametern. Dies sind die Oberflächenspannung g, die Kompression des Gaskeim-Häutchens gc, der minimale Anfangsradius r0min, die Zeitkonstante tR für die Regenerierung von bei der ersten Kompression kollabierten Gaskeimen sowie des Parameters l, in dem verschiedene Größen zusammengefaßt werden und der mit Vcrit in Beziehung steht. Durch l wird letztlich gesteuert, um welchen Betrag die tatsächliche Blasenzahl Nactual die tolerierbare Blasenzahl Nsafe übersteigen darf. Bei kurzen Tauchgängen ist Nactual viel größer als Nsafe, aber bei langen sind beide ungefähr gleich groß.

Zunächst wird ein vorläufiger Schätzwert für pss berechnet, der gerade ausreicht, um den initialen Radius r0min und somit einen Wert für Nsafe zu ermitteln. In der gasdurchlässigen Region kann der Radius r1min, resultierend aus einer Drucksenkung von p0 nach p1, erhalten werden nach der Gleichung
1
r1min
= 1
r0min
+ p1 - p0
2(gc - g)
(17)
Die Regenerierung der Gasblasenradien findet statt während der Zeit tR, die beim Druck p1 verblieben wird. Der Vorgang der Regenerierung wird durch einen komplexen statistisch-mechanischen Prozeß gesteuert, der hier durch einen exponentiellen Abfall mit Hilfe der Konstanten tR angenähert wird:
r(tR) = r1min + (r0min - r1min) ·

1 - e -[(tR)/(tR)]

(18)
Anschließend wird ein Schätzwert für die Übersättigung pssmin gewonnen nach der Gleichung
pssmin = 2
g
gc

·
gc - g
r(tR)

(19)
Mit diesem beibehaltenen Wert für pssmin wird nun ein Dekompressions-Profil und daraus die totale Dekompressionszeit tD berechnet. Mit Hilfe von tD wird ein neuer Wert pssnew erhalten, woraus wiederum ein neuer Wert r0new ermittelt wird. Dieser ist kleiner als r0min, so daß eine Blasenzahl größer als Nsafe resultiert. Die zugrunde liegende Gleichung lautet:
pssnew
=
b +   ______
b2 - 4c
 

2
(20a)
mit     b
= pssmin + lg
gc (tD + H / ln 2)
(20b)
c
=
g
gc

2
 
·
l(p1 - p0)
tD + H / ln 2

(20c)
H
: Gewebe-Halbwertszeit
Die einzelnen Werte für pssnew müssen für jedes „Gewebe“ bzw. „Kompartiment“ eingesetzt werden. Damit wird nun ein etwas genaueres Dekompressions-Profil berechnet, welches wiederum exaktere Werte für tD und pssnew liefert. Nach einigen Iterationen konvergieren tD und pssnew schließlich (sie ändern sich nicht mehr bei weiterer Anwendung der Gleichung). Somit wird erreicht, daß Vmax sich nur durch eine kleine, akzeptable Differenz von Vcrit unterscheidet.

Aufnahme und Abgabe des Inertgases werden als exponentiell angenommen - ebenso wie in den konventionellen Tabellen.

Da es hier hauptsächlich auf die Verhältnisse g/ gc und 2 g/ r0min ankommt, ist die Vorgabe von g im wesentlichen beliebig. Hier wird g = 17,9 dyn/cm eingesetzt, was gc = 257 dyn/cm, r0min = 0,80 mm, tr = 20160 min und l = 2272,73 m ·min ergibt. Dadurch wird sichergestellt, daß die totalen Dekompressionszeiten denen der U.S.N. (U.S. Navy) und R.N.P.L. (Royal Naval Physiological Laboratory) Tabellen ähneln.


Literatur, Links


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On 18 May 2000, 19:53.